Method for reconstructing random acoustic radiation from a plate under turbulent boundary layer excitation
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摘要:
提出了一种湍流边界层激励下板结构辐射的随机声场重建方法。对于无限大板辐射的均匀声场, 基于不相关壁面平面波和平面声全息模型重建了均匀随机声场, 该方法在未知板结构物性参数信息时实现了随机声场的精确重建; 对于简支板辐射的非均匀声场, 将随机声场分解为各个波数平面波激励下结构声响应叠加, 实现了随机声场的精确重建。数值仿真结果表明, 对于1.79%的测量噪声, 通过波数域滤波, 重建误差从61.67%降低为23.18%。研究结果呈现了TBL激励下结构声辐射规律, 可为结构减振降噪及振动非接触测量提供理论依据。
Abstract:This study presents a method for reconstructing the stochastic sound field radiated by a plate structure under the excitation of a turbulent boundary layer (TBL). In the case of a homogeneous sound field radiated by an infinite plate, the homogeneous stochastic sound field is reconstructed based on uncorrelated wall plane waves and a plane acoustic holography model. This method achieves an accurate reconstruction of the random sound field without known material property information of the plate structure. For the non-homogeneous sound field radiated by a simply supported plate, the stochastic sound field is decomposed into a superposition of structural acoustic responses under excitation by plane waves of various wavenumbers, achieving an accurate reconstruction of the random sound field. Numerical simulation results indicate that the reconstruction error can be reduced from 61.67% to 23.18% by applying wavenumber domain filtering to mitigate the effect of a 1.79% measurement error. The results represent the spatial distribution of the stochastic sound pressure field under TBL excitation, providing a theoretical basis for structural vibration damping, noise reduction, and non-contact vibration measurements under TBL excitation.
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引言
湍流边界层(TBL)激励, 在航空、交通运输、海洋等领域的结构中广泛存在, 亚音速湍流边界层是民航飞机巡航时舱内噪声主要激励源[1]。舰艇在10 km/h以上中高航速时, 声呐导流罩的流激噪声是声呐自噪声的重要组成部分, 降低了声呐的信噪比, 限制了声呐的探测距离[2]。TBL激励下的结构振动和声辐射是近年来结构声学领域的研究热点之一[3,4]。
Strawderman[5]最早开展了TBL激励下的无限平板和有限平板模型的振动响应的建模和实验研究。其研究结果表明, 有限板模型计算的振动响应与实验结果较为接近。周振龙等[6]利用高阶剪切变形理论和Rayleigh-Ritz法, 研究了在TBL激励下复合材料板的声辐射规律。Maxit等[7]提出了一种基于波数点互易原理的半解析方法, 用于计算在TBL激励下周期加筋壳体的声振响应。Koukounian等[8]结合有限元和边界元方法预测了飞机机身的声振响应, 并分析了机身蒙皮厚度变换对其振动声学行为的影响。Yu等[4]利用模态能量法对TBL激励的中频振动声学系统进行尺寸优化, 并在高速列车的板腔耦合箱、客舱和驾驶室噪声模拟中验证了优化效果。
上述研究均已知激励和结构参数信息, 通过对结构和声系统建模求解, 正向预测结构声振响应, 而在实际工程应用中往往不易准确获知结构参数信息, 且结构服役时间越长, 结构参数往往偏离最初的设计参数越远。因此, 为了在原位现场揭示在役结构声辐射规律, 有必要进一步开展基于传声器测量结果逆向重建结构表面声场方法的研究。近场声全息(NAH)方法, 采用传声器阵列在距离实际结构振动表面的声学近场, 采集含结构倏逝波在内的声学近场信息, 然后根据介质物理特性和声场边界条件, 构建声场模型, 经声场变换, 获得突破全息成像极限的声学量高分辨率空间分布计算结果[9]。NAH声场重建结果的空间分辨率不受声波波长的限制, 理论上可实现无限高分辨率的声场重建, 揭示结构表面法向振速等完整的结构振速信息, 为研究结构在湍流边界层等典型流态激励下的声辐射规律提供了一种新手段。
现有的近场声全息声场重建方法, 主要开展了确定性声场重建问题的研究[10], 仅少数研究者开展了随机声场重建方面的研究。Nelson等[11]采用传递函数逆矩阵法, 在已知声压功率谱密度的条件下估计了声源强度, 并探讨了重建误差与传递矩阵条件数、不同系统参数对声场重建误差的影响。Nelson等[12]进一步开展了随机振动简支板源的重建实验研究, 并提出了声场重建正则化参数的选择方法。在前述研究中, 重建随机声场的工作主要集中于研究声源与响应声场之间的传递关系。
不同于结构随机辐射声场重建问题, 目前也有若干学者开展了重建TBL激励的研究。重建TBL激励旨在通过声阵列在结构表面复现TBL激励产生的压力场。Fahy[13]提出用点声源重建TBL激励。Aucejo等[14]进一步基于不相关壁面平面波, 利用在空间中移动的单极子声源阵列重建TBL激励, Maxit[15]则在其研究基础上, 讨论了波数域截断对TBL重建结果的影响。Berry等[16]提出了一种基于波场合成(WFS)的TBL激励重建方法, 仿真计算结果表明, 该方法可适用于漫射声场(DAF)和超音速TBL的重建。Robin等[17]根据改进的平面近场声全息(P-NAH)方法, 重建了亚音速TBL激励。在TBL激励重建的研究中, TBL的随机压力载荷通常采用半经验模型表征, 重建目标具有清晰的数学形式。相比之下, 在TBL激励下的结构辐射声场重建研究中, 由于缺少经验模型或简明的数学形式来直接描述结构辐射声压场, 而增加了问题的复杂程度, 但TBL激励重建研究采用的逆向反演方法能为声场重建提供重要参考。
目前, 尚未有TBL激励下的结构辐射声场重建研究报道。本文引入不相关壁面平面波方法, 研究了TBL激励下板结构辐射声场的重建问题。对于无限大板辐射的均匀随机声场, 采用不相关壁面平面波模型, 通过平面声全息方法在波数域中建立了振动响应与辐射声压的关系, 实现了在未知板结构物性参数信息时的声场重建; 对于简支板辐射的非均匀声场, 则通过将声场分解为不同波数平面波激励下的系统响应叠加, 实现了随机声场重建。
1. 理论建模
1.1 TBL激励下无限大板辐射的空间均匀声场重建理论
如图1所示模型, 包含一个无限大平板和半空间无限声场。假设板受到充分发展、空间均匀、时间平稳的TBL激励, 同时TBL激励引起的壁面压力不受板振动的影响。
板法向振动位移和辐射声压的互功率谱密度(CSD)可写为[18]
\begin{split}& {{S_{ ww}}\left( {{{\boldsymbol s}_1},{{\boldsymbol{s}}_2};\omega } \right) = \frac{1}{{4{\pi ^2}}} \int\limits_\infty {\phi _{pp}^{\text{TBL}}\left( {{\boldsymbol{k}},\omega } \right)H_w^ * \left( {{{\boldsymbol s}_1},{\boldsymbol{k}},\omega } \right){H_w}\left( {{{\boldsymbol{s}}_2},{\boldsymbol{k}},\omega } \right)\text{d} {\boldsymbol{k}}} ,} \\& {{H_w}\left( {{\boldsymbol{s}},{\boldsymbol{k}},\omega } \right) = \frac{{{\text{e}^{ - {\mathrm{i}}{k_x}{x_s}}} \cdot {\text{e}^{ - {\mathrm{i}}{k_y}{y_s}}}}}{{{D^ * }{{\left( {k_x^2 + k_y^2} \right)}^2} - \rho {\omega ^2}h + \dfrac{{{\rho _0}{\omega ^2}}}{{{k_{\textit z}}}}}},} \\[-1pt] \end{split} (1) \begin{split} & {{S_{pp}}\left( {{{\boldsymbol{r}}_1},{{\boldsymbol{r}}_2};\omega } \right) = \frac{1}{{4{\pi ^2}}} \int\limits_\infty {\phi _{pp}^{\text{TBL}}\left( {{\boldsymbol{k}},\omega } \right)H_p^ * \left( {{{\boldsymbol{r}}_1},{\boldsymbol{k}},\omega } \right){H_p}\left( {{{\boldsymbol{r}}_2},{\boldsymbol{k}},\omega } \right)\text{d}{\boldsymbol{k}}} ,} \\& {{H_p}\left( {{\boldsymbol{r}},{\boldsymbol{k}},\omega } \right) = \dfrac{{\dfrac{{{\rho _0}{\omega ^2}{\text{e}^{{k_{\textit z}}z}}}}{{{k_{\textit z}}}}{\text{e}^{ - {\mathrm{i}}{k_x}x}} \cdot {\text{e}^{ - {\mathrm{i}}{k_y}y}}}}{{{D^ * }{{\left( {k_x^2 + k_y^2} \right)}^2} - \rho {\omega ^2}h + \dfrac{{{\rho _0}{\omega ^2}}}{{{k_{\textit z}}}}}},}\\[-1pt] \end{split} (2) 其中,
{\boldsymbol{r}} = \left( {x,y,{\textit z}} \right) 表示声场响应点,{\boldsymbol{s}} = \left( {{x_s},{y_s},0} \right) 表示板振动响应点;{H_p}\left( {{\boldsymbol{r}},{\boldsymbol{k}},\omega } \right) 为结构–声系统传递函数, 表示波矢为{\boldsymbol{k}} 的单位平面波激励无限大板时在{\boldsymbol{r}} 点的声压;{\rho _0} 为空气密度,\omega 为角频率,\rho 为板密度,h 为板厚度,{D^*} = \left[ {{E^*}{h^3}/12\left( {1 - {\upsilon ^2}} \right)} \right] 为板的复弯曲刚度,* 表示复共轭, 波数{k_{\textit z}} 为{k_{\textit z}} = \left\{ \begin{array}{ll} - \sqrt {k_x^2 + k_y^2 - k_0^2} , & k_x^2 + k_y^2 > k_0^2, \\ - \text{i}\sqrt {k_0^2 - k_x^2 - k_y^2} , & k_x^2 + k_y^2 < k_0^2. \end{array} \right. (3) \phi _{pp}^{\text{TBL}}\left( {{\boldsymbol{k}},\omega } \right) 表示波数域中的壁面压力谱, 一般采用半经验的公式计算。多种半经验模型可用于表征壁面压力谱, 本文选用Corcos模型[19]。Corcos模型提供了清晰的解析表达, 且形式相对简洁, 该模型的波数–频率谱可表示为\phi _{pp}^{\text{TBL}}({k_x},{k_y},\omega ) = {S_{pp}}(\omega )\dfrac{{4{\alpha _x}{\alpha _y}}}{{\left[\alpha _x^2 + {{\left(1 - \dfrac{{{U_c}{k_x}}}{\omega }\right)}^2}\right]\left[\alpha _y^2 + {{\left(\dfrac{{{U_c}{k_y}}}{\omega }\right)}^2}\right]}}, (4) 其中,
{\alpha _x} 和{\alpha _y} 分别为流向和展向的指数衰减系数[20], 描述流向和展向方向壁面压力场的空间相关性,{U_c} 为湍流的壁面速度,{S_{pp}}(\omega ) 为壁面压力场的功率谱密度函数, 本文中进行了归一化处理, 使其值恒为1。从式(1)和式(2)可以看出, 在TBL激励下, 半空间无限声场中无限大板响应的位移场和声压场是均匀随机场[21], 功率谱密度函数仅依赖于位置之间的相对距离和方向, 而不依赖于具体的位置, 满足:
\begin{split} & {{S_{ww}}\left( {{{\boldsymbol{s}}_{\mathbf{1}}},{{\boldsymbol{s}}_{\mathbf{2}}};\omega } \right) = {S_{ww}}\left( {{{\boldsymbol{s}}_{\mathbf{1}}} - {{\boldsymbol{s}}_{\mathbf{2}}};\omega } \right),} \\ & {{S_{pp}}\left( {{{\boldsymbol{r}}_{\mathbf{1}}},{{\boldsymbol{r}}_{\mathbf{2}}};\omega } \right) = {S_{pp}}\left( {{{\boldsymbol{r}}_1} - {{\boldsymbol{r}}_2};\omega } \right).} \end{split} (5) 图2给出了源面、重建面和全息面的定义。声场重建的目的是利用全息面上接收的已知信息重建重建面上的声压功率谱密度, 揭示结构在TBL激励下的结构声辐射规律。
对于z坐标相同的两点, 式(5)可化简为
\begin{split} & {{S_{ww}}\left( {{{\boldsymbol{s}}_{\mathbf{1}}},{{\boldsymbol{s}}_{\mathbf{2}}};\omega } \right) = {S_{ww}}\left( {{\xi _x},{\xi _y};\omega ,{\textit z}} \right),} \\ & {{S_{pp}}\left( {{{\boldsymbol{r}}_{\mathbf{1}}},{{\boldsymbol{r}}_{\mathbf{2}}};\omega } \right) = {S_{pp}}\left( {{\xi _x},{\xi _y};\omega ,{\textit z}} \right),} \end{split} (6) 其中,
{\xi _x} = {x_1} - {x_2} ,{\xi _y} = {y_1} - {y_2} , 分别表示两点x 轴方向的距离和y 轴方向的距离。对于式(6), 存在以下傅里叶变换对:
\begin{split}& {{S_{ww}}\left( {{\xi _x},{\xi _y};\omega ,{\textit z}} \right) = \dfrac{1}{{4{\pi ^2}}}\int_\infty {{S_{ww}}} \left( {{k_x},{k_y};\omega ,{\textit z}} \right){\text{e}^{{\rm{i}}{k_x}{\xi _x}}} \cdot {\text{e}^{{\rm{i}}{k_y}{\xi _y}}}\text{d}{\boldsymbol{k}},} \\& {{S_{pp}}\left( {{\xi _x},{\xi _y};\omega ,{\textit z}} \right) = \dfrac{1}{{4{\pi ^2}}}\int_\infty {{S_{pp}}} \left( {{k_x},{k_y};\omega ,{\textit z}} \right){\text{e}^{{\rm{i}}{k_x}{\xi _x}}} \cdot {\text{e}^{{\rm{i}}{k_y}{\xi _y}}}\text{d}{\boldsymbol{k}}.} \end{split} (7) 若随机场为平稳均匀场, 可将该场分解为不相关壁面平面波的叠加[22]。
{N_b} 次随机生成的不相关壁面平面波拟合均匀位移场, 第b 次生成的不相关壁面平面波表示为{w^b}({\boldsymbol{s}};\omega ,z) = \sum\limits_{k \in \Omega } {\sqrt {S_{{A_k}{A_k}}^w(\omega )} } {\text{e}^{{\rm{i}}\varphi _k^b}}{\text{e}^{{\rm{i}}{\boldsymbol{ks}}}}, (8) 其中,
\Omega 为波矢的集合;\varphi _k^b 为随机相位, 该随机相位在\left[ {0,2\pi } \right] 均匀分布;b \in \left[ {1,{N_b}} \right] , 生成的不相关壁面平面波的幅值表示为S_{{{\text{A}}_k}{{\text{A}}_k}}^w(\omega ) = \frac{{{S_{ww}}({\boldsymbol{k}};\omega ,z)\delta {k^2}}}{{4{\pi ^2}}}. (9) 声场结构为半空间无限声场, 第
b 次生成的不相关壁面平面波位移场传播出的声压场通过声全息方法[23]求得:{p^b}({\boldsymbol{r}};\omega ,{\textit z}) = \sum\limits_{k \in \Omega } {\sqrt {S_{{A_k}{A_k}}^w(\omega )} } {\text{e}^{{\rm{i}}\varphi _k^b}}{\text{e}^{{\rm{i}}{\boldsymbol{kr}}}}\frac{{{\rho _0}{\omega ^2}{\text{e}^{{k_{\textit z}}{\textit z}}}}}{{{k_{\textit z}}}}, (10) 其中,
{k_{\textit z}} 表达式如式(3)所示,{\textit z} 表示速度场到声压场的传播距离。{{\boldsymbol{r}}_1} 点和{{\boldsymbol{r}}_2} 点的功率谱密度{S_{pp}}\left( {{{\boldsymbol{r}}_1},{{\boldsymbol{r}}_2};\omega } \right) 为声压场{p^b}\left( {{\boldsymbol{r}},\omega } \right) 的集合平均:\begin{split} & {S_{pp}}({{\boldsymbol{r}}_1} - {{\boldsymbol{r}}_2};\omega ,{\textit z}) = E\left[ {\sum\limits_{k \in \Omega } {\sqrt {S_{{{\text{A}}_k}{{\boldsymbol{A}}_k}}^w(\omega )} } {\text{e}^{{\rm{i}}\varphi _k^b}}{\text{e}^{{\rm{i}}{\boldsymbol{k}}{{\boldsymbol{r}}_1}}}\frac{{{\rho _0}{\omega ^2}{\text{e}^{{k_{\textit z}}{\textit z}}}}}{{{k_{\textit z}}}} \cdot } \right. \\& {\left. {\;\;\;\;\overline {\sum\limits_{{k^{'}} \in \Omega } {\sqrt {S_{{A_{{k^\prime }}}{A_{{k^\prime }}}}^w(\omega )} } {\text{e}^{\text{i}\varphi _k^b}}{\text{e}^{{\rm{i}}{{\boldsymbol{k}}^\prime }{{\boldsymbol{r}}_2}}}\frac{{{\rho _0}{\omega ^2}{\text{e}^{{k_{\textit z}}{\textit z}}}}}{{{k_{\textit z}}}}} } \right]_b}, \\[-1pt] \end{split} (11) 整理式(11), 得
\begin{split}& {S_{pp}}({{\boldsymbol{r}}_1} - {{\boldsymbol{r}}_2};\omega ,{\textit z}) = \sum\limits_{k \in \Omega } \sum\limits_{{k^{'}} \in \Omega } \sqrt {S_{{A_k}{A_k}}^w(\omega )S_{{A_{^{{k{'}}}}}{A_{{k^{'}}}}}^w(\omega )} \cdot \\&\quad {\text{e}^{{\rm{i}}({\boldsymbol{k}}{{\boldsymbol{r}}_1} - {{\boldsymbol{k}}^\prime }{{\boldsymbol{r}}_2})}}{{\left| {\frac{{{\rho _0}{\omega ^2}{\text{e}^{{k_{\textit z}}{\textit z}}}}}{{{k_{\textit z}}}}} \right|}^z}E{{\left[ {{\text{e}^{{\rm{i}}\left( {\varphi _k^b - \varphi _{{k^\prime }}^b} \right)}}} \right]}_b} = \\& \quad { \sum\limits_{k \in \Omega } {S_{{{\text{A}}_k}{{\text{A}}_k}}^w} (\omega ){\text{e}^{{\rm{i}}(k{r_1} - {k^\prime }{r_2})}}{{\left| {\frac{{{\rho _0}{\omega ^2}{\text{e}^{{k_{\textit z}}z}}}}{{{k_{\textit z}}}}} \right|}^2}.} \end{split} (12) 响应的声压场为平稳均匀场,
{N_s} 次随机生成的不相关壁面平面波拟合均匀声压场, 第s 次生成的不相关壁面平面波表示为{p^s}({\boldsymbol{r}};\omega ,{\textit z}) = \sum\limits_{k \in \Omega } {\sqrt {S_{{A_k}{A_k}}^p(\omega )} } {\text{e}^{{\rm{i}}\varphi _k^s}}{\text{e}^{{\rm{i}}{\boldsymbol{kr}}}}, (13) s \in \left[ {1,{N_s}} \right] , 生成的不相关壁面平面波的幅值表示为S_{{{\text{A}}_k}{{\text{A}}_k}}^p(\omega ) = \frac{{{S_{pp}}({\boldsymbol{k}};\omega ,{\textit z})\delta {k^2}}}{{4{\pi ^2}}}. (14) {{\boldsymbol{r}}_1} 点和{{\boldsymbol{r}}_2} 点的功率谱密度{S_{pp}}\left( {{{\boldsymbol{r}}_1},{{\boldsymbol{r}}_2};\omega } \right) 为声压场{p^s}\left( {{\boldsymbol{r}},\omega } \right) 的集合平均:\begin{split}& {S_{pp}}({{\boldsymbol{r}}_1} - {{\boldsymbol{r}}_2};\omega ,{\textit z}) = E\left[ \sum\limits_{k \in \Omega } {\sqrt {S_{{A_k}{A_k}}^p(\omega )} } {\text{e}^{{\rm{i}}\varphi _k^s}}{\text{e}^{{\rm{i}}{\boldsymbol{k}}{{\boldsymbol{r}}_1}}} \cdot\right. \\&\qquad \left. \overline {\sum\limits_{{k^\prime } \in \Omega } {\sqrt {S_{{A_{{k^\prime }}}{A_{{k^\prime }}}}^p(\omega )} } {\text{e}^{{\rm{i}}\varphi _{{k^\prime }}^s}}{\text{e}^{{\rm{i}}{{\boldsymbol{k}}{'}}{{\boldsymbol{r}}_2}}}} \right]_s =\\&\qquad { \sum\limits_{k \in \Omega } {\sum\limits_{{k^\prime } \in \Omega } {\sqrt {S_{{A_k}{A_k}}^p(\omega )S_{{A_{{k^\prime }}}{A_{{k^\prime }}}}^p(\omega )} } } {\text{e}^{{\rm{i}}({\boldsymbol{k}}{{\boldsymbol{r}}_1} - {{\boldsymbol{k}}{'}}{{\boldsymbol{r}}_2})}}E{{\left[ {{\text{e}^{\text{i}\left( {\varphi _k^s - \varphi _{{k^\prime }}^s} \right)}}} \right]}_s}}= \\&\qquad { \sum\limits_{k \in \Omega } {S_{{{\text{A}}_k}{{\text{A}}_k}}^p} (\omega ){\text{e}^{{\rm{i}}({\boldsymbol{k}}{{\boldsymbol{r}}_1} - {{\boldsymbol{k}}{'}}{{\boldsymbol{r}}_2})}}.} \\[-1pt] \end{split} (15) {S_{pp}}({\boldsymbol{k}};\omega ,z) = {S_{ww}}({\boldsymbol{k}};\omega ,0){\left| {\frac{{{\rho _0}{\omega ^2}{\text{e}^{{k_{\textit z}}z}}}}{{{k_{\textit z}}}}} \right|^2}. (16) 式(16)揭示了TBL激励下, 半空间无限声场中无限大板响应的位移场和声压场在波数域中的传递关系。全息面测得响应声压数据, 对其进行互相关计算和傅里叶变换得声压功率谱密度
{S_{pp}}\left( {{\xi _x},{\xi _y};\omega ,{{\textit z}_1}} \right) , 根据式(7), 通过傅里叶变换可得波数域中的声压功率谱密度{S_{pp}}\left( {{\boldsymbol{k}};\omega ,{{\textit z}_1}} \right) :{S_{pp}}\left( {{k_x},{k_y};\omega ,{{\textit z}_1}} \right) = \int\limits_\infty {{S_{pp}}\left( {{\xi _x},{\xi _y};\omega ,{{\textit z}_1}} \right){\text{e}^{ - {\rm{i}}{k_x}{\xi _x}}} \cdot {\text{e}^{ - {\rm{i}}{k_y}{\xi _y}}}} \text{d} \xi . (17) 将所得的
{S_{pp}}\left( {k;\omega ,{\textit z}} \right) 代入式(16), 求得重建面上波数域中的声压功率谱密度{S_{pp}}\left( {k;\omega ,{{\textit z}_2}} \right) 为{S_{pp}}({\boldsymbol{k}};\omega ,{{\textit z}_2}) = {\left| {{\text{e}^{{k_{\textit z}}({{\textit z}_2} - {{\textit z}_1})}}} \right|^2}{S_{pp}}({\boldsymbol{k}};\omega ,{{\textit z}_1}). (18) 通过傅里叶逆变换, 可得重建面的辐射声压功率谱密度值:
{S_{pp}}\left( {{\xi _x},{\xi _y};\omega ,{{\textit z}_2}} \right) = \frac{1}{{4{\pi ^2}}}\int\limits_\infty {{S_{pp}}\left( {{k_x},{k_y};\omega ,{{\textit z}_2}} \right)} {\text{e}^{{\rm{i}}{k_x}{\xi _x}}} \cdot {\text{e}^{{\mathrm{i}}{k_y}{\xi _y}}}\text{d}{\boldsymbol{k}}. (19) \begin{split} {S_{pp}}\left( {{\xi _x},{\xi _y};\omega ,{{\textit z}_2}} \right) = & F_{{\xi _x}}^{ - 1}F_{{\xi _y}}^{ - 1}\left[ {F_{{\xi _x}}}{F_{{\xi _y}}}\left[ {{S_{pp}}\left( {{\xi _x},{\xi _y};\omega ,{{\textit z}_1}} \right)} \right] \cdot\right.\\&\left. {{\left| {{\text{e}^{{k_Z}({{\textit z}_2} - {{\textit z}_1})}}} \right|}^2} \right], \end{split} (20) 其中,
F 表示傅里叶变换,{F^{ - 1}} 表示傅里叶逆变换。对全息面上的声压功率谱密度数据进行傅里叶变换, 然后与传递函数相乘, 并进行傅里叶逆变换, 最终得到重建面上的声压功率密度谱。近场声全息的正则化方法也能应用于此空间均匀声场重建过程。1.2 TBL激励下简支板辐射的空间非均匀声场重建理论
如图3所示, 四边边界条件为简支的薄板, 板的四周围绕着无限大的刚性平面障板, 同样受到充分发展、空间均匀、时间平稳的TBL激励, 板上部空间为半空间无限大声场。
辐射声压的互功率谱密度(CSD)结果可表示为[24]
{S_{pp}}\left( {{{\boldsymbol{r}}_1},{{\boldsymbol{r}}_2};\omega } \right) = \frac{1}{{4{\pi ^2}}} \int\limits_\infty {\phi _{pp}^{\text{TBL}}\left( {{\boldsymbol{k}},\omega } \right)} H_p^ * \left( {{{\boldsymbol{r}}_1},{\boldsymbol{k}},\omega } \right){H_p}\left( {{{\boldsymbol{r}}_2},{\boldsymbol{k}},\omega } \right)\text{d}{\boldsymbol{k}}, (21) 其中
\begin{split} {H_p}\left( {{\boldsymbol{r}},{\boldsymbol{k}},\omega } \right){\text{ = }}&\sum\limits_{m,n \in \Gamma } \frac{{{\rho _0}{\omega ^2}{\psi _{m,n}}\left( {{k_x},{k_y}} \right)}}{{{M_{m,n}}\left( {\omega _{m,n}^2 - {\omega ^2} + i\eta \omega {\omega _{m,n}}} \right)}}\cdot \\&\int\limits_S {\sin \left( {\frac{{m\pi x}}{{{L_x}}}} \right)\sin } \left( {\frac{{n\pi y}}{{{L_y}}}} \right)\frac{{{\text{e}^{ - {\rm{i}}{k_0}r}}}}{{2\pi r}}\text{d}{\boldsymbol{S}}, \end{split} (22) 式中,
{\boldsymbol{r}} 表示声场响应点,{\boldsymbol{s}} 表示板振动响应点,r = \left| {{\boldsymbol{r}} - {\boldsymbol{s}}} \right| 为声场响应点与板振动响应点之间的距离,{L_x} 和{L_y} 分别表示板的流向长度与展向长度,\omega 为角频率,{\rho _0} 为空气密度,{k_0} 为空气波数,\eta 为板的阻尼损失因子。{H_p}\left( {{\boldsymbol{r}},{\boldsymbol{k}},\omega } \right) 为结构–声系统传递函数, 表示波矢为{\boldsymbol{k}} 的单位平面波激励简支板时在{\boldsymbol{r}} 点的声压,{H_p}\left( {{\boldsymbol{r,k}},\omega } \right) 包含结构和声场响应, 通过模态叠加法计算出振动响应, 再使用瑞利积分将板面上所有面积单元的贡献叠加得出响应声压。{M_{m,n}} ,{\omega _{m,n}} ,{\psi _{m,n}}\left( {{k_x},{k_y}} \right) 分别是模态质量、模态角频率和模态力:\begin{split}& {{M_{m,n}} = \frac{{\rho h{L_x}{L_y}}}{4},} \\ & {{\omega _{m,n}}{\text{ = }}\sqrt {\frac{D}{{\rho h}}} \left( {{{\left( {\frac{{m\pi }}{{{L_x}}}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{n\pi }}{{{L_y}}}} \right)}^2}} \right),} \\& {{\psi _{m,n}}\left( {{k_x},{k_y}} \right) = I_m^xI_n^y,} \\& {I_p^\xi = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\left( {\dfrac{{p\pi }}{{{L_\xi }}}} \right)\dfrac{{{{\left( { - 1} \right)}^p}{\text{e}^{ - {\rm{i}}{k_\xi }{L_\xi }}} - 1}}{{k_\xi ^2 - {{\left( {{{p\pi } \mathord{\left/ {\vphantom {{p\pi } {{L_\xi }}}} \right. } {{L_\xi }}}} \right)}^2}}},\;\;{k_\xi } \ne \dfrac{{p\pi }}{{{L_\xi }}},} \\ {\dfrac{1}{2}i{L_\xi },} \end{array}} \right.} \end{split} (23) 其中,
\rho 为板密度,h 为板厚度,D = \left[ {E{h^3}/12\left( {1 - {\upsilon ^2}} \right)} \right] 为板的弯曲刚度。源面、重建面和全息面定义亦如图2所示。假设在没有误差的情况下, 全息面上测量得到的声压功率谱密度值与式(21)计算得出的值相同。式(21)涉及波数域的离散和截断, 而式(22)涉及对模态的截断和对板面的离散。关于离散和截断参数的选择, 可参考文献[24], 这里不再详述。如图2所示, 布置传声器阵列作为全息测量面, 根据式(21), 可得以下线性方程组:
\begin{split}& {\left\{ {{S_{pp}}\left( {{\boldsymbol{r}}_m^{\text{meas}},{\boldsymbol{r}}_n^{\text{meas}};\omega } \right)} \right\}_{{M^2} \times 1}} =\\&\quad {\left[ {H_p^ * \left( {{\boldsymbol{r}}_m^{\text{meas}},{\boldsymbol{k}},\omega } \right){H_p}\left( {{\boldsymbol{r}}_n^{\text{meas}},{\boldsymbol{k}},\omega } \right)} \right]_{{M^2} \times J}}{\left\{ {\phi _{pp}^{\text{TBL}}\left( {{\boldsymbol{k}}{\boldsymbol{}},\omega } \right)} \right\}_{J \times 1}}, \end{split} (24) 其中,
{\left\{ {{S_{pp}}\left( {{\boldsymbol r}_m^{\text{meas}},{\boldsymbol r}_n^{\text{meas}};\omega } \right)} \right\}_{{M^2} \times 1}} 为半空间声压功率谱密度测量值组成的列向量;{\boldsymbol r}_m^{\text{meas}} ,{\boldsymbol r}_n^{\text{meas}} 为测点坐标,\left( {m,n} \right) \in \left\{ {\left( {1,1} \right), \cdots ,\left( {1,M} \right), \cdots ,\left( {M,M} \right)} \right\} ,M 为阵列所含测点数目;{\left[ {H_p^ * \left( {{\boldsymbol r}_m^{\text{meas}},{\boldsymbol k},\omega } \right){H_p}\left( {{\boldsymbol r}_n^{\text{meas}},{\boldsymbol k},\omega } \right)} \right]_{{M^2} \times J}} 为各测点结构声–系统传递函数展开项H_p^ * \left( {{\boldsymbol r}_m^{\text{meas}},{\boldsymbol k},\omega } \right){H_p}\left( {{\boldsymbol r}_n^{\text{meas}},{\boldsymbol k},\omega } \right) 组成的矩阵;{\left\{ {\phi _{pp}^{\text{TBL}}\left( {{\boldsymbol k},\omega } \right)} \right\}_{J \times 1}} 为系数向量,J 表示系数向量的项数, 也代表在波数空间中的离散数。系数向量{\left\{ {\phi _{pp}^{\text{TBL}}\left( {{\boldsymbol k},\omega } \right)} \right\}_{J \times 1}} 可通过对式(24)求逆求解, 即\begin{split} {\left\{ {\phi _{pp}^{\text{TBL}}\left( {{\boldsymbol{k}},\omega } \right)} \right\}_{J \times 1}} =& \left[ {H_p^ * \left( {{\boldsymbol{r}}_m^{\text{meas}},{\boldsymbol{k}},\omega } \right){H_p}\left( {{\boldsymbol{r}}_n^{\text{meas}},{\boldsymbol{k}},\omega } \right)} \right]_{J \times {M^2}}^\dagger \\&{\left\{ {{S_{pp}}\left( {{\boldsymbol{r}}_m^{\text{meas}},{\boldsymbol{r}}_n^{\text{meas}};\omega } \right)} \right\}_{{M^2} \times 1}},\\[-1pt] \end{split} (25) 其中, 上标
\dagger 表示对矩阵求伪逆:\begin{split}& \left[ {H_p^ * \left( {{\boldsymbol r}_m^{\text{meas}},{\boldsymbol k},\omega } \right){H_p}\left( {{\boldsymbol r}_n^{\text{meas}},{\boldsymbol k},\omega } \right)} \right]_{J \times {M^2}}^\dagger = \\& \left( \left[ {H_p^ * \left( {{\boldsymbol r}_m^{\text{meas}},{\boldsymbol k},\omega } \right){H_p}\left( {{\boldsymbol r}_n^{\text{meas}},{\boldsymbol k},\omega } \right)} \right]_{J \times {M^2}}^{\text{H}} \right. \cdot \\&\left. {{\left[ {H_p^ * \left( {{\boldsymbol r}_m^{\text{meas}},{\boldsymbol k},\omega } \right){H_p}\left( {{\boldsymbol r}_n^{\text{meas}},{\boldsymbol k},\omega } \right)} \right]}_{{M^2} \times J}} \right)^{ - 1} \;\; \cdot \\& \left[ {H_p^ * \left( {{\boldsymbol r}_m^{\text{meas}},{\boldsymbol k},\omega } \right){H_p}\left( {{\boldsymbol r}_n^{\text{meas}},{\boldsymbol k},\omega } \right)} \right]_{J \times {M^2}}^{\text{H}}. \end{split} (26) 当式(24)的系数向量
{\left\{ {\phi _{pp}^{\text{TBL}}\left( {{\boldsymbol{k}},\omega } \right)} \right\}_{J \times 1}} 确定后, 在半空间声场的任意两个场点\left( {{\boldsymbol{r}}_s^{\text{rec}},{\boldsymbol{r}}_d^{\text{rec}}} \right) 处, 辐射声压功率谱密度值可由下式重建:\begin{split} {\left\{ {{S_{pp}}\left( {{\boldsymbol{r}}_s^{\text{rec}},{\boldsymbol{r}}_d^{\text{rec}};\omega } \right)} \right\}_{{S^2} \times 1}} =& {\left[ {H_p^ * \left( {{\boldsymbol{r}}_s^{\text{rec}},{\boldsymbol{k}},\omega } \right){H_p}\left( {{\boldsymbol{r}}_d^{\text{rec}},{\boldsymbol{k}},\omega } \right)} \right]_{{S^2} \times J}}\cdot \\&{\left\{ {\phi _{pp}^{\text{TBL}}\left( {{\boldsymbol{k}},\omega } \right)} \right\}_{J \times 1}}, \end{split} (27) 其中,
{\left\{ {{S_{pp}}\left( {{\boldsymbol{r}}_s^{\text{rec}},{\boldsymbol{r}}_d^{\text{rec}};\omega } \right)} \right\}_{{S^2} \times 1}} 为半空间声压功率谱密度重建值组成的列向量;{\boldsymbol{r}}_s^{\text{rec}} ,{\boldsymbol{r}}_d^{\text{rec}} 为重建点坐标,\left( {s,d} \right) \in \left\{ {\left( {1,1} \right), \cdots ,\left( {1,S} \right), \cdots ,\left( {S,S} \right)} \right\} ,S 为重建面重建点数目;{\left[ {H_p^ * \left( {{\boldsymbol{r}}_s^{\text{rec}},{\boldsymbol{k}},\omega } \right){H_p}\left( {{\boldsymbol{r}}_d^{\text{rec}},{\boldsymbol{k}},\omega } \right)} \right]_{{S^2} \times J}} 为各重建点的结构声–系统传递函数展开项H_p^ * \left( {{\boldsymbol{r}}_s^{\text{rec}},k,\omega } \right){H_p}\left( {{\boldsymbol{r}}_d^{\text{rec}},{\boldsymbol{k}},\omega } \right) 组成的矩阵。2. 数值仿真
2.1 无限大板辐射声场
计算模型采用无限大板, 板厚度为3 mm, 密度为2700 kg/m3, 泊松比为0.34, 杨氏模量为67 × 109 Pa, 阻尼损失因子为0.01。声在空气中传播, 声速为340 m/s, 空气密度为1.29 kg/m3, 对流速度为50 m/s, 黏滞速度为2.6 m/s, 流向衰减系数为0.11, 展向衰减系数为0.77。在本研究中, 声辐射的仿真结果是通过式(2)和式(21)的积分求解获得 。响应声压功率谱密度结果计算方法由式(2)给出, 对于该式中波数域的积分,
x 方向截断波数{\overline k_x} = 2k_f^{\max } ,y 方向截断波数{\overline k_y} = 1.5k_f^{\max } , 波数分辨率dk = 0.05\; {\rm{rad/m}} 。图4(a)为
{k_y} = 0 时, Corcos模型[19]归一化的壁面压力自功率谱密度函数(\overline \phi _{pp}^{\text{TBL}}\left( {{k_x},0,\omega } \right) )云图, 单位为dB, 参考值为1{\mathrm{rad}}{}^{ - 2} , 在对流波数{k_c} 直线的附近区域自功率谱值最大。图4(b)为{k_y} = 0 时,r = \left( {0\;{\rm{m}},0\;{\rm{m}},0.01\;{\rm{m}}} \right) 声场响应点的结构–声系统传递函数({\left| {{H_p}\left( {{\boldsymbol{r}},{k_x},{k_y},\omega } \right)} \right|^2} )云图, 单位为dB, 参考值为1, 计算结果在板弯曲波数{k_f} 或空气波数{k_0} 附近达到最大。图4(c)为{k_y} = 0 时, 结构–声系统传递函数与壁压谱的乘积({\overline{\varphi }}_{pp}^{\text{TBL}}\left({k}_{x},0,\omega \right)\cdot {| {{H_p}\left( {{\boldsymbol{r}},{k_x},{k_y},\omega } \right)} |^2} )云图, 单位为dB, 参考值为1{\rm{rad}}{}^{ - 2} , 由于板结构存在, TBL激励中高于弯曲波数{k_f} 的成分的贡献被过滤, 只有小于弯曲波数的成分对响应声压功率谱密度值存在贡献。![]()
图 4 壁面压力和系统传递函数的波数–频率谱 (a) 壁面压力ASD函数; (b) 结构–声系统传递函数; (c) 结构–声传递函数与壁压谱乘积 (虚线: 流体对流波数; 实线: 结构弯曲波数; 点线: 空气介质波数)图5给出了随着计算点在z方向距离变化时, 壁面压力与结构–声系统传递函数的乘积的结果。随着距离增加, 高于空气波数区域的贡献迅速减小, 高于空气波数的成分对应于倏逝波, 其随着传播距离增加而快速衰减。
![]()
图 5 结构–声传递函数与壁压谱的乘积 (a){\boldsymbol{r}} = \left( {0\;{\rm m},0\;{\rm{m}},0.25\;{\rm{m}}} \right) ; (b){\boldsymbol{r}} = \left( {0\;{\rm{m}},0\;{\rm{m}},0.5\;{\rm{m}}} \right) 从图4和图5可知, 板结构对TBL激励存在滤波作用, 高于弯曲波数
{k_f} 的贡献被快速衰减, 空气对振动声辐射同样存在类似的滤波作用, 高于空气波数{k_0} 的结构振动形成倏逝波辐射, 随传播距离增加而快速衰减, 系统存在双重过滤效应。计算点的响应声压自功率谱密度随z 方向距离的变化趋势如图6所示。随着传播距离的增加, 响应声压自功率谱密度幅值迅速减小。图5和图6分别从波数域和空间域两个维度展示了TBL中高波数成分的影响。TBL具有大量高波数成分, 激发声场响应产生倏逝波, 这些快速衰减的倏逝波的存在为重建带来了挑战。![]()
图 6f = 10\;{\mathrm{Hz}} ,r = \left( {0\;{\rm m},0\;{\rm m},{\textit z}} \right) 处响应声压自功率谱密度函数 (10{\log _{10}}[ {{S_{pp}}\left( {r;\omega } \right)} ] , 单位: dB, 参考值:1\;{{{\mathrm{P}}{{\mathrm{a}}^2}} \mathord{\left/ {\vphantom {{P{a^2}} {Hz}}} \right. } {{\mathrm{Hz}}}} )\left( {0\;{\rm{m}},0\;{\rm{m}},0.01\;{\rm{m}}} \right) 点的响应声压自功率谱密度随频率的变化趋势如图7所示。随着频率增加, 响应声压自功率谱密度趋势变化平缓, 峰值出现在水动力重合频率处, 即无限大平板的弯曲振动波数与对流波数相等时的频率。![]()
图 7r = \left( {0\;{\rm{m}},0\;{\rm{m}},0.01\;{\rm{m}}} \right) 处响应声压自功率谱密度函数随频率变化趋势(10{\log _{10}}[ {{S_{pp}}\left( {\omega ;{\boldsymbol{r}}} \right)}] , 单位: dB, 参考值:1\;{{{\rm{P}}{{\rm{a}}^2}} \mathord{\left/ {\vphantom {{P{a^2}} {Hz}}} \right. } {{\rm{Hz}}}} )2.2 无限大板辐射的空间均匀声场重建
本文声场重建是将声辐射数值仿真的结果作为测量值, 对比重建的声场结果与声辐射数值仿真结果。全息面和重建面为矩形平面, 具有相同的尺寸(
\left[ { - 30\;{\rm{m}};30\;{\rm{m}}} \right] \times \left[ { - 30\;{\rm{m}};30\;{\rm{m}}} \right] ), 计算频率为300 Hz, 测量间隔\Delta 为0.5 m, 测量点数为120 \times 120 。图8(a)为300 Hz, 传播距离{{\textit z}_1} = 1\;{\rm m} 下的响应声压功率谱密度(10{\log _{10}}\left[ {{S_{pp}}\left( {{\xi _x},{\xi _y};\omega ,{\textit z}{}_1} \right)} \right] )空间分布图, 单位为dB, 参考值为1\;{{{\rm{P}}{{\rm{a}}^2}} \mathord{\left/ {\vphantom {{P{a^2}} {Hz}}} \right. } {{\rm{Hz}}}} 。将图8(a)表示的声辐射数值仿真结果视为全息面的测量结果。![]()
图 8 声压功率谱密度的空间分布 (a)f = 300\;{\mathrm{Hz}} ,{{\textit z}_1} = 1\;{\rm m} , 响应声压功率谱密度; (b){{\textit z}_2} = 0.5\;{\rm m} , 重建的响应声压功率谱密度; (c){{\textit z}_1} = 0.5\;{\rm m} , 响应声压功率谱密度; (d) 重建相对误差图8(b)为
f = 300\;{\rm{Hz}} ,{{\textit z}_2} = 0.5\;{\rm m} 的重建面重建结果(10{\log _{10}}\left[ {{S_{pp}}\left( {{\xi _x},{\xi _y};\omega ,z{}_2} \right)} \right] ); 而图8(c)为对应的f = 300\;{\rm{Hz}} ,{{\textit z}_1} = 0.5\;{\rm m} 声辐射数值仿真结果; 图8(d)为图8(b)重建结果与图8(c)声辐射数值仿真结果之间的误差分布(| {{{\left( {{S_{pp}}\left( {{{\textit z}_2}} \right) - {S_{pp}}\left( {{{\textit z}_1}} \right)} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left( {{S_{pp}}\left( {{{\textit z}_2}} \right) - {S_{pp}}\left( {{{\textit z}_1}} \right)} \right)} {{S_{pp}}\left( {{{\textit z}_1}} \right)}}} \right. } {{S_{pp}}\left( {{{\textit z}_1}} \right)}}} | )。声场在中心位置重建较准确, 但在边缘处, 重建时存在明显问题。根据声全息理论, 全息面应大于源面尺寸, 但在无限大平板源情况下无法满足, 导致信息大量丢失。边缘附近结果对边缘重建影响最大, 但这些结果大部分超出测量孔径, 因此导致边缘重建效果不佳。有限测量孔径会出现孔径复制现象, 可通过在真实孔径外赋零值减少这种误差。为减少误差, 将测量孔径尺寸翻倍, 即\left[ { - 60\;{\rm m};60\;{\rm m}} \right] \times \left[ { - 60\;{\rm m};60\;{\rm m}} \right] 。同时, 在孔径之外声压功率谱密度瞬间降为零值。这种空间不连续性代表空间中一个高波数成分高度集中的区域。经式(20)运算后, 这些高波数成分的幅值会大幅度提高, 极大恶化了声场重建结果。施加k- 空间滤波器消除这些高波数成分, 该滤波器为指数窗函数[25], 定义为\overline{\varPi }\left(\dfrac{{k}_{r}}{2{k}_{0}}\right)=\left\{\begin{array}{ll}1-\dfrac{1}{2}{\text{e}}^{-(1-|{k}_{r}|/{k}_{0})/\alpha },&\left|{k}_{r}\right| < {k}_{0}, \\ \dfrac{1}{2}{\text{e}}^{(1-|{k}_{r}|/{k}_{0})/\alpha }\text{, }&\left|{k}_{r}\right| > {k}_{0}, \end{array}\right. (28) 其中,
\overline \varPi \left({{{k_r}}}/{{2{k_0}}}\right) 代表圆形滤波器,{k_r} \equiv \sqrt {k_x^2 + k_y^2} = {k_0} ,\alpha = 0.05 ,\alpha 值决定了窗函数的衰减速率。即使使用k-空间滤波器, 声压功率谱密度在边缘处的不连续性也须认真处理。通过施加渐变窗降低不连续性, 用一种更柔和的方式将边缘处的声压降为零值。本文使用8-点Tukey窗[25],其表达式为f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\mathrm{cos}\left[\dfrac{\pi \left(x-{L}_{x}/2\right)}{{x}_{w}}\right],&\dfrac{{L}_{x}}{2}-{x}_{w} < x < \dfrac{{L}_{x}}{2}, \\ 1,&x\leqslant \dfrac{{L}_{x}}{2}-{x}_{w}, \\ 0,&x > \dfrac{{L}_{x}}{2}, \end{array}\right. (29) 其中,
{x_w} 为窗的宽度,x = {{{L_x}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{L_x}} 2}} \right. } 2} 是测量孔径的右边界。在测量孔径的4个边界上施加窗函数, 选定{x_w} = 15\;{\rm m} ,{y_w} = 15\;{\rm m} 。图9(a)为施加渐变窗和补零之后的全息面声压功率谱密度空间分布。对比图8(a), 通过补零扩大了测量孔径, 通过施加渐变窗提升了声压功率谱密度结果在边缘处的连续性。图9(b)给出了将图9(a)结果作为测量值, 采用正则化方法后的重建面重建结果; 图9(c)为图9(b)重建结果与声辐射数值仿真结果图8(c)之间的误差分布图。在采用正则化手段后, 边缘处的重建结果得到改善, 并且错误的重建声压数据局限在测量孔径的渐变边界。无论是施加渐变窗还是
k -空间滤波器, 其目的都在消除高波数成分带来的误差, 可见合理的正则化手段能改善重建结果, 减小高波数成分带来的误差放大现象。![]()
图 9 全息面声压功率谱密度和相对误差的空间分布 (a)f = 300\;{\rm{Hz}} ,{{\textit z}_1} = 1\;{\rm m} , 响应声压功率谱密度; (b){{\textit z}_2} = 0.5\;{\rm m} , 重建的响应声压功率谱密度; (c) 重建相对误差实际上, 边缘相邻区域的互功率谱密度函数没有明确的物理意义, 但是在随机过程的计算中经常涉及它们[26], 所以边缘处的重建结果参考意义不大。
2.3 简支板辐射声场
计算模型采用简支板, 板的流向长度为1.5 m, 展向长度为0.9 m, 其余系统参数同2.2节。
式(21)为响应声压互功率谱密度
{S_{pp}}\left( {{r_1},{r_2};\omega } \right) 的表达式, 下面给出式(21)和式(22)的积分数值离散和截断求和扩展项的数值仿真计算结果。对于式(21)中的波数域积分, 流向方向的截断波数为{\overline k_x} = 1.2k_f^{\max } , 展向方向的截断波数为{\overline k_y} = 2k_f^{\max } , 波数分辨率为dk = 0.25\;{{{\rm{rad}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{rad} m}} \right. } {\rm{m}}} 。对于式(22)中对板面的积分, 使用矩形法近似获得离散近似解, 空间分辨率为dx = dy = 0.03\;{\rm m} 。在进行模态展开时, 计算在\left[ {0,{3 \mathord{\left/ {\vphantom {3 2}} \right. } 2}{\omega _{\max }}} \right] 频带范围内的模态, 其中{\omega _{\max }} 为所研究的最大角频率。{k_y} = 0 时r = \left( {0.75\;{\rm m},0.45\;{\rm m},0.01\;{\rm m}} \right) 处声场响应的结构–声系统传递函数值如图10(b)所示, 函数值在板弯曲波数{k_f} 或空气波数{k_0} 附近达到最大, 而远离两个波数, 对应于模态频率和模态波数的区域的函数值也是不容忽略的。图10(c)为{k_y} = 0 时壁面压力谱和结构–声系统传递函数的乘积结果, 由于边界条件的存在, 图10(c)出现明显的模态分布。图11给出了随着计算点在 z 方向距离的变化, 壁面压力与结构–声系统传递函数的乘积的结果。从图10和图11可知, 和无限大板的结果(图4和图5)类似, 出现双重过滤效应。当TBL激励作用于板结构时, 板结构的振动会产生声响应。在这个过程中, 板结构与其板弯曲波数相对应, 产生了一种过滤效应, 高于板弯曲波数{k_f} 的成分的贡献衰减。另一方面, 声场与空气波数相对应, 也有着相似的过滤效应, 随着传播距离的增加, 高于空气波数{k_0} 的成分的贡献衰减。两个不同板结构下的色散关系揭示了相同的双重过滤效应, 这两种效应由板的弯曲波数及空气波数决定, 导致高波数成分的贡献衰减。![]()
图 10 壁面压力和系统传递函数的波数–频率谱 (a) 壁面压力ASD函数; (b) 结构–声系统传递函数; (c) 结构–声传递函数与壁压谱乘积(虚线: 流体对流波数; 实线: 结构弯曲波数; 点线: 空气介质波数)![]()
图 11 结构–声传递函数与壁压谱的乘积值 (a)r = \left( {0.75\;{\rm m},0.45\;{\rm m},0.25\;{\rm m}} \right) ; (b)r = \left( {0.75\;{\rm m},0.45\;{\rm m},1\;{\rm m}} \right) 图12给出了点
\left( {0.75\;{\rm m},0.45\;{\rm m},0.01\;{\rm m}} \right) 处的响应声压自功率谱密度随频率变化的趋势。简支板的响应曲线具有明确的共振峰, 这些共振峰对应板的模态频率。对比无限大板的结果, 无限大板没有明确的边界条件, 响应曲线未显示出明确的共振峰, 变化平缓。简支板的响应曲线受到振动模式和边界条件的影响, 出现明显的共振峰, 谱值在某些频率下较低。![]()
图 12r = \left( {0.75\;{\rm m},0.45\;{\rm m},0.01\;{\rm m}} \right) 点的响应声压自功率谱密度函数随频率变化趋势(10{\log _{10}}[ {{S_{pp}}\left( {\omega ;r} \right)} ] , 单位: dB, 参考值:1\;{{{\mathrm{P}}{{\mathrm{a}}^2}} /{{\mathrm{Hz}}}} )2.4 简支板辐射的空间非均匀声场重建
图13(a)为
f = 60.1\;{\rm{Hz}} (板\left( {4,1} \right) 模态所对应频率), 传播距离{{\textit z}_1} = 0.5\;{\rm m} 时, 响应声压自功率谱密度(10{\log _{10}}\left[ {{S_{pp}}\left( {x,y;\omega ,{{\textit z}_1}} \right)} \right] )的空间分布, 单位为dB, 参考值为1\;{{{\rm{P}}{{\rm{a}}^2}} \mathord{\left/ {\vphantom {{P{a^2}} {Hz}}} \right. } {{\rm{Hz}}}} , 随着传播距离的增大声压响应失去了模态形状。以图13(a)条件下的声辐射数值仿真结果作为测量值, 测量间距为0.15 m, 测量点数为10 \times 6 。系数向量{\left\{ {\phi _{pp}^{\text{TBL}}\left( {{\boldsymbol{k}},\omega } \right)} \right\}_{J \times 1}} 的波数分辨率dk = 0.5\;{{{\rm{rad}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{rad} m}} \right. } {\rm{m}}} 。图13(b)为f = 60.1\;{\mathrm{Hz}} ,{{\textit z}_2} = 0.01\;{\rm m} 的重建面重建结果图(10{\log _{10}}\left[ {{S_{pp}}\left( {x,y;\omega ,{{\textit z}_2}} \right)} \right] ), 其中系数向量{\left\{ {\phi _{pp}^{\text{TBL}}\left( {{\boldsymbol{k}},\omega } \right)} \right\}_{J \times 1}} 的截断波数为{\overline k_x} = {\overline k_y} = {k_f} 。图13(c)为f = 60.1\;{\mathrm{Hz}} ,{{\textit z}_1} = 0.01\;{\rm m} 时重建面的声辐射数值仿真结果; 图13(d)为重建结果图13(b)与声辐射数值仿真结果图13(c)之间的误差分布。重建的贴近源面的声压结果接近\left( {4,1} \right) 模态形状, 在未考虑测量噪声的情况下, 声场重建结果与声辐射数值仿真结果基本一致, 验证了本文重建方法的精确性。![]()
图 13 声压自功率谱密度函数的空间分布 (a)f = 60.1\;{\rm{Hz}} ,{{\textit z}_1} = 0.5\;{\rm m} , 响应声压自功率谱密度; (b){{\textit z}_2} = 0.01\;{\rm m} , 重建的响应声压自功率谱密度; (c){{\textit z}_1} = 0.01\;{\rm m} , 响应声压自功率谱密度; (d) 重建相对误差为了考察测量噪声对声场重建结果的影响, 为全息面的测量数据加入幅值和相位误差:
\begin{split}& {\widehat S_{pp}}\left( {{\boldsymbol{r}}_m^{{\text{meas}}},{\boldsymbol{r}}_n^{{\text{meas}}};\omega } \right) = \left( {1 + {\varepsilon _a}\left( {{\boldsymbol{r}}_m^{{\text{meas}}},{\boldsymbol{r}}_n^{{\text{meas}}}} \right)} \right)\cdot \\&\qquad{\text{e}^{\text{i}{e_\phi }\left( {{\boldsymbol{r}}_m^{{\text{meas}}},{\boldsymbol{r}}_n^{{\text{meas}}}} \right)}}{S_{pp}}\left( {{\boldsymbol{r}}_m^{{\text{meas}}},{\boldsymbol{r}}_n^{{\text{meas}}};\omega } \right), \end{split} (30) 其中,
{S_{pp}}\left( {{\boldsymbol{r}}_m^{{\text{meas}}},{\boldsymbol{r}}_n^{{\text{meas}}};\omega } \right) 为半空间声压功率谱密度测量值, 本文使用声辐射数值仿真的结果替代;{\boldsymbol{r}}_m^{{\text{meas}}}, {\boldsymbol{r}}_n^{{\text{meas}}} 为测点坐标,\left( {m,n} \right) \in \left\{ {\left( {1,1} \right), \cdots ,\left( {1,M} \right), \cdots ,\left( {M,M} \right)} \right\} ,M 为阵列所含的测点数目, 在该算例中M = 10 \times 6 。{\varepsilon _a} 和{e_\phi } 分别表示幅值和相位误差;{\varepsilon _a} 从正态分布的总体中随机抽取, 正态分布的均值为0, 标准差为0.01;{e_\phi } 亦是从正态分布的总体中随机抽取, 正态分布的均值为0, 标准差为5°=0.0872 rad。传播距离
{{\textit z}_1} = 0.5\;{\rm m} 时声压自功率谱密度在加入误差后的空间分布(10{\log _{10}}[ {{{\widehat S}_{pp}}\left( {x,y;\omega ,{{\textit z}_1}} \right)} ] )如图14(a)所示。图14(b)为测量结果图13(a)和加入误差后的测量结果图14(a)之间的误差分布图, 最大相对误差为1.79%。将加入误差后的结果作为测量值, 图14(c)展示了f = 60.1\;{\mathrm{Hz}} ,{{\textit z}_2} = 0.01\;{\rm m} 的重建面重建结果, 其中系数向量{\left\{ {\phi _{pp}^{\text{TBL}}\left( {{\boldsymbol{k}},\omega } \right)} \right\}_{J \times 1}} 的截断波数为{\overline k_x} = {\overline k_y} = {k_f} 。图14(d)为重建结果图14(c)与声辐射数值仿真结果图13(c)之间的误差。在该算例下, 测量结果存在误差, 虽然声场重建的形状与声辐射数值仿真结果趋势一致, 但幅值上存在较大的误差, 最大相对误差为61.67% 。从1.79%的测量误差到61.67%的重建误差, 重建误差的数量级明显提高。TBL具有大量高波数成分, 激发声场响应产生倏逝波。当加入误差时, 由于倏逝成分的存在, 重建误差会随距离放大。![]()
图 14 声压自功率谱密度函数的空间分布 (a)f = 60.1\;{\rm{Hz}} ,{{\textit z}_1} = 0.5\;{\rm m} , 响应声压自功率谱密度; (b) 测量相对误差; (c){{\textit z}_2} = 0.01\;{\rm m} , 重建的响应声压自功率谱密度; (d) 重建相对误差系数向量
{\left\{ {\phi _{pp}^{\text{TBL}}\left( {k,\omega } \right)} \right\}_{J \times 1}} 的截断波数, 影响重建误差, 其作用类似于k-空间滤波器[23]。调整系数向量{\left\{ {\phi _{pp}^{\text{TBL}}\left( {k,\omega } \right)} \right\}_{J \times 1}} 的截断波数为{\overline k_x} = {\overline k_y} = 1.5{k_0} , 并将图14(a)中加入误差后的结果作为测量值输入, 图15(a)给出了声场的重建结果。图15(b)为重建结果图15(a)与声辐射数值仿真结果图13(c)之间的误差分布图。对比图14(d)和图15(b)可见, 通过调整截断波数, 最大相对误差降至23.18%, 相较于未调整截断波数前最大相对误差为61.67%, 重建误差得到显著改善。因此, 在重建过程中, 需要合理设置截断波数, 以控制声场重建误差。![]()
图 15 声压自功率谱密度函数的空间分布 (a)f = 60.1\;{\rm{Hz}} ,{{\textit z}_2} = 0.01\;{\rm m} , 重建的响应声压自功率谱密度; (b) 重建相对误差3. 结论
本文基于不相关壁面平面波和平面声全息模型, 实现了湍流边界层(TBL)激励下板结构辐射的随机声场的精确重建; 通过将声场分解为各个波数平面波激励下结构声响应叠加, 进一步实现了非均匀随机声场的重建。在均匀声场重建中, 通过施加
k- 空间滤波器和渐变窗、及在孔径之外赋零值等正则化方法, 提高了声场重建精度; 在非均匀声场重建中, 则通过波数域滤波, 声场重建误差从61.67%降低为23.18%。本文研究结果揭示了结构–声系统的双重过滤效应以及TBL激励下结构振动的近场和远场的声辐射规律, 为结构减振降噪设计和结构振动的非接触测量提供了理论依据。 -
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图 4 壁面压力和系统传递函数的波数–频率谱 (a) 壁面压力ASD函数; (b) 结构–声系统传递函数; (c) 结构–声传递函数与壁压谱乘积 (虚线: 流体对流波数; 实线: 结构弯曲波数; 点线: 空气介质波数)
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图 5 结构–声传递函数与壁压谱的乘积 (a)
{\boldsymbol{r}} = \left( {0\;{\rm m},0\;{\rm{m}},0.25\;{\rm{m}}} \right) ; (b){\boldsymbol{r}} = \left( {0\;{\rm{m}},0\;{\rm{m}},0.5\;{\rm{m}}} \right) ![]()
图 6
f = 10\;{\mathrm{Hz}} ,r = \left( {0\;{\rm m},0\;{\rm m},{\textit z}} \right) 处响应声压自功率谱密度函数 (10{\log _{10}}[ {{S_{pp}}\left( {r;\omega } \right)} ] , 单位: dB, 参考值:1\;{{{\mathrm{P}}{{\mathrm{a}}^2}} \mathord{\left/ {\vphantom {{P{a^2}} {Hz}}} \right. } {{\mathrm{Hz}}}} )![]()
图 7
r = \left( {0\;{\rm{m}},0\;{\rm{m}},0.01\;{\rm{m}}} \right) 处响应声压自功率谱密度函数随频率变化趋势(10{\log _{10}}[ {{S_{pp}}\left( {\omega ;{\boldsymbol{r}}} \right)}] , 单位: dB, 参考值:1\;{{{\rm{P}}{{\rm{a}}^2}} \mathord{\left/ {\vphantom {{P{a^2}} {Hz}}} \right. } {{\rm{Hz}}}} )![]()
图 8 声压功率谱密度的空间分布 (a)
f = 300\;{\mathrm{Hz}} ,{{\textit z}_1} = 1\;{\rm m} , 响应声压功率谱密度; (b){{\textit z}_2} = 0.5\;{\rm m} , 重建的响应声压功率谱密度; (c){{\textit z}_1} = 0.5\;{\rm m} , 响应声压功率谱密度; (d) 重建相对误差![]()
图 9 全息面声压功率谱密度和相对误差的空间分布 (a)
f = 300\;{\rm{Hz}} ,{{\textit z}_1} = 1\;{\rm m} , 响应声压功率谱密度; (b){{\textit z}_2} = 0.5\;{\rm m} , 重建的响应声压功率谱密度; (c) 重建相对误差![]()
图 10 壁面压力和系统传递函数的波数–频率谱 (a) 壁面压力ASD函数; (b) 结构–声系统传递函数; (c) 结构–声传递函数与壁压谱乘积(虚线: 流体对流波数; 实线: 结构弯曲波数; 点线: 空气介质波数)
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图 11 结构–声传递函数与壁压谱的乘积值 (a)
r = \left( {0.75\;{\rm m},0.45\;{\rm m},0.25\;{\rm m}} \right) ; (b)r = \left( {0.75\;{\rm m},0.45\;{\rm m},1\;{\rm m}} \right) ![]()
图 12
r = \left( {0.75\;{\rm m},0.45\;{\rm m},0.01\;{\rm m}} \right) 点的响应声压自功率谱密度函数随频率变化趋势(10{\log _{10}}[ {{S_{pp}}\left( {\omega ;r} \right)} ] , 单位: dB, 参考值:1\;{{{\mathrm{P}}{{\mathrm{a}}^2}} /{{\mathrm{Hz}}}} )![]()
图 13 声压自功率谱密度函数的空间分布 (a)
f = 60.1\;{\rm{Hz}} ,{{\textit z}_1} = 0.5\;{\rm m} , 响应声压自功率谱密度; (b){{\textit z}_2} = 0.01\;{\rm m} , 重建的响应声压自功率谱密度; (c){{\textit z}_1} = 0.01\;{\rm m} , 响应声压自功率谱密度; (d) 重建相对误差![]()
图 14 声压自功率谱密度函数的空间分布 (a)
f = 60.1\;{\rm{Hz}} ,{{\textit z}_1} = 0.5\;{\rm m} , 响应声压自功率谱密度; (b) 测量相对误差; (c){{\textit z}_2} = 0.01\;{\rm m} , 重建的响应声压自功率谱密度; (d) 重建相对误差 -
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